Proportia Divina

„Matematica este muzica raţiunii.” James J. Sylvester. Așa începea ”mica comoară” a maestrului arhitect ce avea să contribuie la ceea ce astăzi înseamnă Palatul Alexander.

…Partea matematică dintr-un număr foarte special Phi = 1,6 dezvăluie o ”proporție divină”, numită și ”număr de aur” pentru prezența sa în natură, în plante, animale și alte forme de viață, și de asemenea, în tot universul.

PALATUL ALEXANDER - PROPORTIA DIVINA
PALATUL ALEXANDER – Conceput după Principiul Șirului lui Fibonacci

ŞIRUL LUI FIBONACCI ŞI NUMĂRUL DE AUR

Cine nu a observat și nu a rămas plăcut surprins câtă simetrie și ordine există în natură? Probabil că mulți dintre noi deja am dedus că natura a folosit în ”hazardul” ei formule matematice ce au creat în final tot ceea ce ne înconjoară. Oamenii încearcă permanent să înţeleagă natura şi legile acesteia, să simtă ritmurile cosmice, să înţeleagă de fapt mai profund viaţa, pentru a ajunge la o armonie cu mediul înconjurător.

Aplicaţiile numărului de aur, de fapt ale raportului ca atare, se regăsesc la punerea în proporţie a lucrărilor în arhitectură, pictură, sculptură, estetică şi artă în general, ceea ce confirmă interesul manifestat de’a lungul timpului pentru acest număr. Proporţia divină a condus la construirea Dreptunghiului de aur, în care raportul laturilor este egal cu numărul de aur. Acest tip de dreptunghi este considerat ca fiind deosebit de estetic şi ca urmare a fost şi este intens utilizat în arhitectură şi artă.

De pildă se consideră că faţa Giocondei lui da Vinci se încadrează într’un astfel de dreptunghi, iar în construcţia Parthenonului din Atena se regăsesc cel puţin două astfel de dreptunghiuri.

Partenon, Acropola, Atena. Acest templu antic se încadrează perfect într’un dreptunghi de aur

Exista mitul că Leonardo Da Vinci credea că PROPORȚIA DE AUR e proporția dintre înălțimea și lățimea unei fețe ”perfecte” umane și că a folosit Proporția de Aur în realizarea omului vitruvian. Deși nu există dovezi împotriva acestei idei, nu există nici dovezi în favoarea ei, așa că singurul motiv de a crede în aceasta idee e credința însăși. Același lucru e valabil și în cazul lui Boticelli și pictura sa faimoasă ”Nașterea lui Venus” sau în cazul lui Georges Seurat și pictura sa, ”Parada unui circ”.

Există și pictori ce au folosit intentionat Proporția de Aur. Printre aceștia se numară Paul Serusier, Juan Gris, Giro Severini și Salvador Dali. Dar aceștia se pare că au folosit P.A. doar ca tehnică experimentală, și nu ca motiv intrinsec estetic. Cubiștii au organizat,  la Paris, în 1912, o expozitie numită ”Section d’Or”, dar numele nu avea nicio legatură cu arta expusă.

Palatul Alexander - conceput dupa principiul lui Fibonacci
Palatul Alexander – conceput dupa principiul lui Fibonacci

Există și miturile despre piramidele și mormintele egiptene ce au fost construite cu ajutorul Proporției de Aur. Papirusul Ahmes Egiptului oferă detalii de construire a Marii Piramide de la Gizeh în 4700 î.Hr. cu proporții în conformitate cu un ”raport sacru”. Despre secretul piramidelor s’a scris enorm, observându’se că axul culoarului este centrat pe steaua polară din epoca respectivă cu mare exactitate: 4 minute a unghiului făcut în raport cu steaua ”Alfa” a Dragonului reprezentând nordul geografic, iar cele 4 unghiuri ale bazei sunt îndreptate spre nord, est, sud și vest cu aceeași corectitudine.

Înălțimea piramidei înmulțită cu un miliard reprezintă distanșa Pământ-Soare (150 milioane Km). Perimetrul bazei împărșit la înălțime da ”2 Pi”, dublul lui 3,14, ceea ce s’a putut verifica abia dupa 1670 de Leibnitz.

Dar în acest caz nu există dovezi care să susțină această afirmație. Tot așa cum nu există, nici dovezi care să susțină ideea că unele tablete de piatră indică faptul că babilonienii cunoșteau conceptul de P.A.

Odată găsit acest numar, povestea continuă. Grecii antici aparent foloseau magia numerelor în arhitectura, un bun exemplu e Panteonul din Atena. Inspirați de greci, viitoarele generații de arhitecti și’au proiectat clădirile bazându’se pe această proporție minunată. Nici pictorii nu au ignorat’o. Se spune că Leonardo Da Vinci folosea Proporția de Aur pentru a păstra proporțiile figurilor umane din picturile sale –  în acest fel proporția de aur a ajuns în paginile nuvelei lui Dan Brown.

Omul Vitruvian ”Omul în Acțiune” de Leonardo Da Vinci.  Putem desena multe linii de dreptunghiuri în această figură. Apoi, sunt trei seturi distincte de Dreptunghiuri de Aur: fiecare pentru zona capului, corpului și picioarelor

Povestea e interesantă, dar… din nefericire, în afară de faptul că Euclid a rezolvat problema divizării liniei în cartea sa ”Elementele”, nu există alte dovezi care să susțină afirmațiile făcute în privința Proporției de Aur, dar există motive bune să credem că toate afirmațiile sunt false, asa cum matematicianul George Markowsky, de la Universitatea din Maine, a indicat în articolul său ”Noțiuni greșite despre proporția de aur” publicat in College Mathematics Journal în ianuarie 1992.

Dar din cauză că povestea, care unește matematica pură cu estetica, arhitectura și pictura, e mult mai interesantă așa, argumentele concrete nu prea au putere asupra ei.

În ultimul timp s’a încercat o extindere a seriei Numerelor de Aur în spaţiul cu trei şi chiar mai multe dimensiuni. Astfel, din punct de vedere tridimensional se poate vorbi de Volumul de Aur, care defineşte un paralelipiped în care raportul dintre lungime şi înălţime este egal cu raportul dintre înălţime şi lăţime, acest raport, numindu’se Numărul de Aur 3D. De fapt în acest paralelipiped, armonia constă în faptul că înălţimea este medie geometrică între lungime şi lăţime, ceea ce confera structurii o unitate specială.

Numărul de aur este căutat în cele mai diverse şi neaşteptate situaţii, spre exemplu unii încearcă să găsească o explicaţie din acest punct de vedere chiar şi pentru factorul de conversie 1,609, foarte apropiat de phi, care apare la transformarea distanţelor din mile în kilometri. În acelaşi timp numerele Fibonacci apar în numeroase probleme de ştiinţă, pornind de la fizica clasică, chimie, matematică, până la cele mai moderne domenii ale cunoaşterii (sinergetica, teoria fractalilor, teoria haosului, în calculatoarele neuronale şi automatele celulare), sunt utilizate în generatorii pseudo aleatori de numere, precum şi în diverse procedee şi metode de optimizare. Ele se regăsesc în analiza algoritmului lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun a două numere întregi, în rezolvarea problemei lui Hilbert, în teorema lui Zeckendorf, etc. În muzică, numerele Fibonacci se utilizează deseori pentru realizarea acordajelor.

Se crede că lucrarea Muzică pentru instrumente de coarde, percuţie şi celestă, a lui Bèla Bártok a fost structurată utilizând numerele Fibonacci. Viitorul şi nevoia de cunoaştere şi înţelegere a oamenilor s’ar putea să confere acestor numere unice, noi aplicaţii şi interpretări, ajungând poate chiar şi pe terenul incert al fenomenelor paranormale.
Șirul lui Fibonacci este o secvență de numere în care fiecare număr se obține din suma precedentelor două din șir.

Astfel, primele zece numere ale șirului lui Fibonacci sunt: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Șirul Fibonacci în matematică, se referă la explicațiile metafizice ale codurilor din universul nostru. Numerele lui Fibonacci sunt considerate a fi, de fapt, sistemul de numărare al naturii, un mod de măsurare al Divinității.

Numerele lui Fibonacci apar peste tot în natură, pornind de la aranjamentul frunzelor, de la șabloanele petalelor unei flori și ajungand la falangele mâinii umane, de la zile de naștere și până la zidurile Piramidelor.

Se spune că există o legatură între creșterea naturală a plantelor și Numărul de Aur: proporția tainică a acestui număr, reprezentată fie în triunghiul de aur (isoscel) al lui Pitagora, în Elipsa de Aur din tradiția hindusă sau în Spirala de Aur care, prin șirul lui Fibonacci, se demonstrează păstrând proportia de 1,618.

1.6180339887
Mai găsim si alte lucruri în natura ca spirala generata de apă (vârtejurile), mișcarea curenților de aer în spirală, cochilia melcilor, dispunerea petalelor de trandafir sau afrunzelor și semințelor din regnul vegetal, care păstrează aceasta proporție perfectă arătând că în întreaga creație se păstrează această proporție, probabil de aici i s’a tras și numele de ”formula fericirii”. Aceasta demonstrează existența unui sfere de constiință a armoniei și frumuseții existente în întregul univers și care îl ghidează.

Dacă luăm câteva pătrate cu laturi egale cu unul din numerele şirului lui Fibonacci, şi lipim aceste pătrate, apoi trasăm linii asemenea în fiecare iese forma spiralei unei cochilii. Chiar şi frumuseţea corpului uman e sub incidenţa seriei Fibonacci. Acest șir, dezvăluit de Fibonacci în matematică, se refera la explicatiile metafizice ale codurilor din universul nostru. Împreună, cele zece cifre se adună, pentru a forma acest mesaj (se spune în cercurile ezoterice):

„În secolul al XXI-lea, în aceste vremuri de evoluție, omenirea va cunoaste Iluminarea”, deci Codul prevede ca, în această eră, omenirea își va schimba percepția.
Tot ceea ce a încercat omul de’a lungul vremurilor își va găsi, în sfarșit, o rezolvare. Această rezolvare ar cuprinde toate principiile vietii, inclusiv modul în care relaționăm unii cu alții. Se spune ca aceste zece numere ”șir dezordonat, simplu pana la absurd”, ar reprezenta o anagramă numerică. Dând șirului de numere semnificația lor numerologică, în total sunt zece numere, ni se dezvăluie că lucrul acesta este semnificativ în sine, numarul 10 fiind un sfârșit în sine, este o revenire la centru, la unitate, la un nou început și la împlinire de sine.

Zece reprezintă un rezultat, o realizare, acest număr cuprinde și conține toate numerele precedente, reprezentand un ciclu, formând, la rândul său, începutul unui nou ciclu, fiind principiul măreț al tuturor ciclurilor naturale, ne putem gândi la cele zece degete, la copacul vieții și la izvorul tinereții.

În spiritualitate, fiind considerat un ciclu fără sfârșit, se spune deasemenea, că șirul lui Fibonacci, s’a dovedit a fi o cheie care ar fi asemănată cu un trandafir cu cinci petale. Pentagrama trandafirului cu cinci petale este un simbol sacru extraordinar, acest concept a fost inițiat prin punerea laolaltă a celor cinci elemente de bază: PĂMÂNT, APĂ, FOC, AER și ETERUL CERESC. Cifra cinci simbolizeaza centrul, armonia, echilibrul.

 

Cât privește Numărul de Aur, secțiunea divină, un alt șir care mai este cunoscut și ca Phi, este un numar foarte cunoscut în artă, avându’și originile fundamentale în natura, astfel încât, orice element din natură este proporțional cu Phi.
Dacă înlocuim literele Phi cu numerele corespunzătoare, obținem 781, a cărei sumă totală se reduce la 7. Adunând și cifrele 1618 vedem ca ne dă tot 7, care este considerat a fi cel mai frumos număr din univers, însemnând numărul perfecțiunii, numărul lui Dumnezeu.

Sunt șapte zile în săptămână, șapte note muzicale, șapte minuni ale lumii, șapte centri energetici (chakre), șapte culori ale curcubeului, Noe a luat în arca sa șapte perechi din fiecare animal de pe pământ, Numărul 7 apare de 77 de ori în VT si este cheia catre NT, care se referă la cele șapte peceți, șapte îngeri, șapte biserici, șapte trâmbițe, șapte semne, șapte chivoturi. De asemenea, avem Septem Castra de pe stema Ardealului.

Raportul între apotema și baza triunghiurilor este 1,618, Numărul de Aur.
Numărul de Aur este strâns legat de şirul lui Fibonacci, în care fiecare termen este suma celor două anterioare (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…).

Pe măsură ce înaintăm, raportul dintre doi termen succesivi ai şirului lui Fibonacci tinde spre Phi. Numarul de aur – secțiunea divină, un alt șir care mai este cunoscut și ca Phi (1,618), este un număr foarte cunoscut în artă avându’și originile fundamentale în natură, astfel încât,orice element din natură este proporțional cu Phi.

Așa cum Secțiunea de Aur este regasită în ansamblul și frumusetea naturii, poate fi de asemenea folosită pentru a atinge frumusețea și echilibrul în artă. Secțiunea de Aur a fost folosită extensiv de Leonardo da Vinci. Observați cum toate dimensiunile cheie ale camerei și ale mesei în tabloul lui da Vinci, ”Cina cea de Taină” se bazau pe Secțiunea de Aur, care era cunoscută în perioada renascentistă ca ”Proporția Divina”.

https://coldlightofmorning.files.wordpress.com/2009/12/a2.jpg?w=551&h=321

În ”Sacramentul Cinei cea de Taină”, Salvador Dali și’a înrămat pictura într’un Dreptunghi de Aur. Urmând tehnica lui da Vinci, Dali a poziționat masa exact la Secțiunea de Aur a înalțimii picturii sale.

A poziționat cei doi discipoli lângă partea lui Iisus, la secțiunile de aur a lățimii compoziției. În plus, ferestrele din fundal sunt formate din 12 pentagoane, care exprima relațiile Phi în proporțiile lor.

Secvenţa numerelor lui Fibonacci a fascinat de’a lungul istoriei pe foarte mulţi oameni de ştiinţă, matematicieni, fizicieni, biologi, şi continuă să o facă chiar şi în prezent. Numerele lui Fibonacci sunt considerate a fi modul de măsurare al Dinivităţii sau sistemul de numărare al naturii.

Savantul român Henri Coandă a ”ascuns” numărul de aur 1,61803 în proiectul avionului cu reacţie. Specialiștii Asociației Henri Coandă, care aveau sarcina să preleveze cote de pe imaginile primului avion cu reacție fotografiat la Salonul de Aeronautica de la Paris, din 1910, au observat că, la constructia formei profilului de aripă (secțiunea transversală) au fost folosite de Coandă mai multe forme eliptice. Nu mică le’a fost mirarea, când au constatat ca raportul dintre raza mare și raza mica a elipsei este chiar… Numărul de Aur.

Secretul lui Henri Coandă. Savantul român a „ascuns” numărul de aur 1,61803 în proiectul avionului cu reacţie! EXCLUSIV

Înțelegerea faptului ca există numere precum Phi a pricinuit o adevarată criză filozofica în antichitate, în special printre adepții lui Pitagora, care considerau că logica universală se bazeaza tocmai pe inexistența numerelor iraționale.

Mai apoi, Phi – Φ a devenit emblematic pentru iluștrii adepți ai ezotericului. Phidias a construit Parthenonul pornind de la Raportul de aur. Leonardo da Vinci a pictat, între altele, ”Mona Lisa”, folosind Raportul de Aur (raportul divin, cum ii spunea). Alți mari artisti, printre care si românul Brâncuși (în celebra sa ”Pasăre”), au folosit Proporția de Aur.

***

Dar cine a fost de fapt Fibonacci?

Leonardo Pisano Fibonacci sau Leonardo din Pisa (1170 – 1250), este considerat ca unul dintre cei mai mari matematicieni europeni ai Evului Mediu. S’a născut în Pisa, oraș italian faimos pentru turnul său înclinat, care parcă stă să cadă. Tatăl său, Guglielmo Bonacci a fost ofițer vamal în orașul din Africa de Nord numit Bougie (Bugia), așa încât Fibonacci a crescut în mijlocul civilizației nord-africane, primind o educaţie specifică acestei zone, făcând, însă, multe călătorii pe coastele Mediteranei.

https://i0.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8e/Leonardo_da_Pisa.jpg

În călătoriile sale a întâlnit numeroşi comercianţi de la care a învăţat sistemul lor aritmetic, familiarizându’se astfel cu sistemul de numeraţie considerat azi indo-arab, dar inventat de vedici. Cine alții, dacă nu geții lui Ares (arienii)?

Fibonacci şi’a terminat călătoriile în jurul anului 1200 după care s’a întors la Pisa, unde a început să scrie un număr semnificativ de texte ce au jucat un rol important în reactualizarea cunoştinţelor matematice ale antichităţii şi la care a adăugat propriile sale contribuţii.

Trăind în epoca premergătoare tiparului, el şi’a scris de mână toate lucrările. Dintre acestea, există astăzi copii ale următoarelor: Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), şi Liber quadratorum (1225). Din păcate multe altele s’au pierdut, spre exemplu lucrarea Di minor guisa, care făcea referire la numerele iraţionale. Totuşi ceea ce l’a făcut faimos pe Fibonacci, nu au fost teoremele abstracte, ci aplicaţiile practice şi soluţiile găsite de el la diverse probleme matematice.

Liber abaci, publicată în 1202, este un tratat de aritmetică şi algebră care exprimă cunoştinţele acumulate de autor în timpul călătoriilor sale. Cartea, după care s’au făcut numeroase copii, a reliefat valoarea şi utilitatea sistemului numeric zecimal hindus (care utilizează cifrele 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0), contribuind și el la introducerea acestuia în Europa.

Cifrele Brahmi au fost inițial 9

Imagini pentru Cifrele Brahmi

Sistemul numeral hindus-arab, adică vedic (getic), sau sistemul numeric hindus este un sistem numeric pozițional zecimal, în zilele noastre cu cea mai frecventă reprezentare simbolică a numerelor din lume. A fost inventat între secolele I-IV d.Hr de matematicieni hinduși. Sistemul a fost adoptat, prin persane matematicienii persani (Al-Khwarizmi  în 825 prin cartea ”Cu privire la calculul cu cifre hinduse”) și matematicienii arabi ( Al-Kindi în 830 în volumul ”Cu privire la utilizarea cifrelor hinduse’), în secolul al IX-lea. Mai târziu a fost răspândit în lumea occidentală a Evului Mediu.

Sistemul se bazează pe zece (inițial nouă) diferite hieroglife. Simbolurile utilizate pentru a reprezenta sistemul se află în principiu independente de sistemul în sine. Hieroglifele de utilizarea reală sunt coborat de la cifrele hinduse Brahmi și s’au împărțit în mai multe variante de tipar înca din Evul Mediu. Aceste seturi de simboluri pot fi împărțite în trei familii principale: numerele hinduse utilizate în subcontinentul indian, în cifrele oriental-arabe utilizate în Egipt și Orientul Mijlociu, precum și cifrele utilizate în vestul arab Maghreb și în Europa.

Dar revenind la Fibonacci, lucrarea Liber abaci descrie de asemenea regulile după care se efectuează operaţiile aritmetice elementare (adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea), oferind şi probleme pentru ilustrarea metodelor de calcul. În acelaşi timp el studiază şi modul de rezolvare a ecuaţiilor liniare. Partea a doua a cărţii este o colecţie de probleme cu care se confruntau comercianţii arabi, probleme legate de preţul mărfurilor, calcularea profitului, conversia valutelor, probleme referitoare la progresiile aritmetice şi geometrice, precum şi multe alte probleme originare din China. Una din problemele din partea a treia a tratatului Liber abaci, cunoscută ca problema iepurilor, a condus la introducerea numerelor şi a secvenţei Fibonacci, pentru care acesta este de fapt foarte cunoscut astăzi. Pe scurt enunţul problemei este următorul: O persoană plasează o pereche de iepuri într’un spaţiu închis şi se întreabă câte perechi de iepuri vor exista la sfârşitul unui an de zile, dacă se presupune că în fiecare lună fiecare pereche naşte o alta, care din luna următoare devine fertilă.
Problema este însă idealizată, în sensul în care se consideră că nici un iepure nu moare, iar secvenţa numerică rezultată este: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …

Şirul astfel obţinut, în care fiecare termen este suma celor două numere precedente, s’a dovedit a fi extrem de util în rezolvarea anumitor probleme şi el apare în multe situaţii în matematică şi ştiinţă în general.

Din numeroasele probleme ce apar în secţiunea a treia a cărţii, se pot aminti câteva de genul:
1. Un păianjen urcă pe un perete un număr de paşi ziua şi coboară un alt număr fixat de paşi noaptea. În câte zile va urca păianjenul zidul?
2. Un copoi a cărui viteză creşte aritmetic aleargă după un iepure a cărui viteză creşte tot aritmetic. Ce distanţă parcurge câinele până când prinde iepurele?
3. Să se calculeze suma de bani de care vor dispune două persoane, în urma unor tranzacţii date, cunoscând creşterile şi descreşterile în valoarea monedelor folosite.

În 1220 Fibonacci publică Practica geometriae, un compendiu de geometrie şi trigonometrie, iar în 1225 lucrarea Flos, în care Fibonacci ajunge la soluţia uneia din ecuaţiile celebre la acea vreme 10 x + 2 x 2 + x 3= 20, ecuaţie pe care Johannes din Palermo încerca de ceva vreme să o rezolve.

Liber quadratorum, scrisă în 1225, este însă cea mai impresionantă operă a lui Fibonacci. Cartea face o teorie a numerelor, o analiză a pătratelor perfecte, iar printre altele examinează diverse metode de a afla numerele pitagorice şi face referiri şi la radicalii de ordinul trei. Liber quadratorum îl clasează pe Fibonacci ca fiind cel mai mare matematician de până la Pierre de Fermat (1601 – 1665).

PROPORŢIA DE AUR

Să facem o incursiune în istoria numerelor şi a proporţiilor, în lumea artei şi în natură, având ca punct comun Proporţia de Aur. Elementul comun ce uneşte ştiinţa, matematica, arta, natura, domenii care aparent nu pot fi relaţionate este ”Numărul / Proporţia de Aur”.

Două cantităţi a şi b se găsesc în proporţia de aur dacă a+b raportat la aeste est egal cu a/ b. Valoarea numerică a acestui raport este ( aprox. , fiind un nr. iraţional ) 1,618 şi a fost numită Numărul de Aur.
Deşi această proporţie este cunoscută încă din antichitate, abia în 1835 este denumită ”Proporţie de Aur”, de către matematicianul grec Martin Ohm (1792-1872), iar de la începutul secolului XX este simbolizată de litera grecească Phi, ca un omagiu adus marelui sculptor grec Phidias, care a utilizat în sculpturile sale şi în construirea Partenonului dimensiuni aflate în Proporţia de Aur.

În faimoasa lui carte Elemente, marele matematician grec al antichităţii, Euclid (320-270 î.Hr.), ne’a transmis o sinteză a cunoştinţelor de geometrie elementară şi de aritmetică.
În natură dimensiunile cochiliilor melcilor marini, ramurile şi frunzele unor plante, seminţele de floarea soarelui , conurile de pin cresc în spirale cudimensiuni ce respectă numerele din şirul lui Fibonacci. Înmulţirea familiilor de albine se face respectând aceste numere. În fizica modernă în domeniul cvasi cristalelor şi al găurilor negre s’au identificat proprietăţi legate de proporţia de aur. Există adepţi înfocaţi ai proporţiei de aur care încearcă să o identifice pretutindeni, dar şi sceptici care încearcă să demonstreze că existenţa ei în natură este datorată doar coincidenţelor.

Numerele Fibonacci în natură

Secvenţa Fibonacci apare în structurile biologice, cum ar fi dispunerea ramurilor copacilor, aşezarea frunzelor în jurul tulpinii plantelor, spiralele cochiliilor, aranjamentulunui con de brad, desfăşurarea ramurilor unei ferigi, aspectul unui ananas, etc. S’a avansat ideea că toate acestea pot fi în parte înţelese ca expresie a unor constrângeri algebrice specifice sistemelor libere.

Se spune deseori că aranjamentele florale asemănătoare florii soarelui au 55 de spirale într’o direcţie şi 89 în cealaltă (55 şi 89 suntnumere adiacente din şirul Fibonacci), lucru valabil pentru inflorescenţele din stratul exterior şi care sunt cele mai vizibile. De asemenea, numărul de petale al multor flori face parte din secvenţă.

 

De exemplu crinii şi irişii au 3 petale, pintenul cocoşului are 5, nemţişorii au 8 petale, gălbenelele au 13, ochiul boului poate avea 21, în timp ce margaretele pot avea 34, 55 sau chiar 89 de petale. Dacă se priveşte o plantă de sus în jos se observă că frunzele sale sunt astfel dispuse încât cele de deasupra nu le obturează pe cele de dedesubt. În acest fel fiecare frunză primeşte suficientă lumină solară şi permite apei de ploaie să alunece către tulpină şi să fie dirijată spre rădăcină – o altă armonie a naturii înconcordanţă cu secvenţa lui Fibonacci.

Dreptunghiuri şi spirale Fibonacci

Pornind de la două mici pătrate alăturate, cu laturile egale cu unitatea 1,se poate desena deasupra lor un altul cu latura 2 =(1+1). În continuare se poate alipi un alt pătrat cu latura 3, iar dedesubt unul cu latura 5, ş.a.m.d. Se obţine astfel o dispunere a numerelor Fibonacci într’un set de pătrate şi dreptunghiuri, acestea din urmă având ca lungime alaturilor două numere Fibonacci consecutive.

 

De fapt, avem de a face cu Dreptunghiuri de Aur, raportul laturilor acestora fiind egal cu numărul Phi. În continuare, în fiecare pătrat se poate desena un sfert de cerc, dar astfel încât să se asigure continuitatea liniei, obţinându’se un fel despirală, care reprezintă o bună aproximaţie a celor întâlnite în natură, în lumea vie (cochiliile melcilor, ale scoicilor, aranjamentul seminţelor sau al inflorescenţelor plantelor).

Cum laturile pătratelor iniţiale se află în raportul de aur, rezultă că spirala se depărtează de centrul său în raportul ϕ = 1,618 după fiecare sfert de ”rotaţie”, astfel încât la fiecare rotaţie completă punctele spiralei se află faţă de centru la o distanţă de ϕ 4 = 1,6184 = 6,854 mai mare.

Fibonacci şi corpul uman

Dacă privim mâinile unui om, constatăm alte coincidenţe poate, ce ne amintesc de faimosul şir. Avem 2 mâini, cu 5 câte degete, fiecare având 3 falange separate prin două articulaţii.

Coincidenţă sau nu, aspectul este interesant, cu atât mai mult cu cât dacă măsurăm lungimea oaselor degetelor, se pare că raportul dintre osul cel mai lung şi cel din mijloc, ca şi raportul dintre osul mijlociu şi cel mai scurt din vârf reprezintă proporţia de aur Phi.

Lungimi deget os.

În medie, dimensiunile falangelor sunt: 2 cm, 3 cm, 5 cm, iar în continuare osul palmei are circa 8 cm (2, 3, 5, 8 sunt numere din secvenţa Fibonacci). În acelaşi timp, faţa umană este caracterizată din punct de vedere estetic prin câteva dimensiuni principale: distanţa dintre ochi, distanţa dintre gură şi ochi, distanţa dintre nas şi ochi, dimensiunea gurii.

În estetică se apreciază că faţa este cu atât mai plăcută ochiului cu cât aceste dimensiuni respectă mai bine secvenţa lui Fibonacci.

Proporția de Aur este peste tot, dar nicăieri nu este la fel de impresionantă și la fel de importantă decât cea ce descoperim în corpul uman, mai important ca ADN-ul nostru.

1. Fiecare ciclu al moleculei de ADN măsoară 34 angstromi lungime și 21 de angstromi lățime. 

Precum știm deja, 34 și 21 sunt numere Fibonacci, așa cum s’a menționat mai sus, 34/21 este în raport cu Phi = 1.619.

Jean-Claude Perez sugerează din 1991 că există o legătură puternică între ADN și raportul de aur, același lucru spunând și în 1997, în cartea sa ”l’ADN décrypté”. În această lucrare, el arată că proporțiile relative ale nucleotidelor în secvențele de codificare ADN, cum ar fi genele sau șiruri de caractere ARN sunt guvernate de anumite seturi de numere Fibonacci și Lucas. Această descoperire a fost validată în special pe toate testele cunoscute HIV și SIV (virusul imunodeficienței Simian) retrovirusuri de gene întregi, efectuate de profesorul Luc Montagnier (descoperitorul virusului HIV), care a numit descoperirea un ”supracod al ADN-ului”.

2. Dacă împărțim intervalul 0°C – 100°C – corespunzător punctului de solidificare, respectiv punctului de fierbere a apei – în secțiunea de aur, obținem valoarea de aproximativ 38,1°C, aceasta fiind temperatura organelor interne din corp, cu alte cuvinte temperatura la care se află apa în interiorul unui organism uman viu.

3. În multe dintre amprentele umane apar curbe asemănătoare spiralei logaritmice, de unde și metafora deseori vehiculată referitoare la secțiunea de aur ca fiind ”semnătura a lui Dumnezeu în creație”.

4. Secțiune de aur se regăsește în activitatea inimii, în raportul dintre presiunea sistolică și cea diastolică a sângelui, care este apropiat de 1,61.

5. Ciclurile undelor înregistrate electrocardiografic ascund, se pare, si ele numărul de aur. Electrocardiograma reprezintă înregistrarea grafică a activității electrice a inimii, diferențele de potențial genereate de miocard ajungând la suprafața corpului, unde pot fi masurate cu ajutorul unor electrozi plasati la suprafata pielii. În starea de repaus, membrana celulelor miocardului este polarizată electric pozitiv la exterior și negativ în interiorul celulelor. Prin depolarizare se înțelege inversarea încărcării electrice a membranei (datorată unor schimburi ionice), însoțită de apariția așa-numitelor potențiale de acțiune (mușchiul se contractă).

Revenirea din starea de depolarizare în starea polarizată electric din repaus se numește repolarizare. Fiecare ciclu cardiac produce trei unde electrice distincte, numite P, QRS și T. Unda P corespunde activării atriale (propagarea depolarizării prin miocardul atrial), undele Q, R, S formează complexul de activare ventriculară (propagarea depolarizării prin miocardul ventricular), iar unda T reprezintă repolarizarea ventriculelor. Repolarizarea atriilor are loc simultan cu QRS, dar este mascată de amplitudinea depolarizării ventriculare. Aspectul electrocardiogramei variază considerabil, în funție de o gamă de factori. Unii cardiologi susțin că poziționarea undei T în secțiunea de aur a ciclului cardiac denotă o stare de sănătate și armonie.

6. Secțiunea divină este omniprezentă în proporțiile corpului uman. Omul vitruvian al lui Leonardo da Vinci – care îl are ca model pe arhitectul Vitruviu, el însuși autorul unui amplu tratat despre proporție – este ilustrativ în această privință. Astfel, ombilicul împarte corpul în secțiunea de aur, care se regăsește, de asemenea, și în rapoartele dintre: distanța de la ombilic la genunchi și distanța de la genunchi la sol distanța de la ombilic la sol și distanța de la ombilic la genunchi înălțimea corpului și distanța de la umăr la degetul mijlociu (măsurată cu brațul paralel cu solul) distanța de la linia umerilor la vârful capului și lungimea capului

 
De asemenea, segmentele brațului și ale palmei sunt proporționate în secțiunea de aur, care apare în rapoartele dintre: distanța de la vârful degetului mijlociu la umăr și distanța de la vârful degetului mijlociu la cot distanța de la vârful degetului mijlociu la cot și distanța de la încheietură la cot oasele metacarpiene.

https://i2.wp.com/empowerednutrition.com/wp-content/uploads/2010/10/golden-ratio-arm.jpg

7. Numărul de aur este considerat ca o adevărată ”mască” a frumuseții, aplicată pentru chipuri din toate timpurile, de la Nefertiti, la actrițele de succes ale zilelor noastre. Câteva exemple în care se regăsește secțiunea de aur sunt raporturile dintre: lungimea și lățimea feței distanța dintre buze și linia unde sprâncenele se întâlnesc, și lungimea nasului lungimea gurii și lățimea nasului distanța dintre pupile și distanța dintre sprâncen.

Dentiția respectă și ea Proportia de Aur, care, în general, se regăsește în raportul dintre lătimea incisivului central și lățimea incisivului lateral. De asemenea, dreptunghiul care încadrează cei doi incisivi centrali este un Dreptunghi de Aur.